這種感覺很奇妙。
　　龐學(xué)林從來沒有想過，原本用來解決數(shù)論問題的龐氏幾何，竟然還能與非線性偏微分方程聯(lián)系在一起。
　　突如其來的靈感突然發(fā)散出去，瞬間，各種奇思妙想開始在龐學(xué)林的腦海里涌現(xiàn)。
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　　“在與曲面相關(guān)的偏微分方程組中，首先需要解決的，便是復(fù)結(jié)構(gòu)的存在性問題！這一點(diǎn)，可以從一個(gè)經(jīng)典的老問題入手！即：給定2n維實(shí)微分流形m上的一個(gè)近復(fù)結(jié)構(gòu)j，什么時(shí)候這個(gè)近復(fù)結(jié)構(gòu)是由復(fù)結(jié)構(gòu)誘導(dǎo)出來的?”
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　　“給定的近復(fù)結(jié)構(gòu)j由某復(fù)結(jié)構(gòu)誘導(dǎo)，當(dāng)且僅當(dāng)在每一點(diǎn)的某鄰域內(nèi)都有局部實(shí)坐標(biāo){x^1，x^2，x^3……x^2n-1，x^2n}，使得j?xj=?x^j+n，j?x^j+n=-?x^j，因?yàn)槿绻嬖谶@樣的局部坐標(biāo)卡集，則復(fù)坐標(biāo)卡集{x+ix^n+1，…，x^n+ix^2n}之間的轉(zhuǎn)換函數(shù)便適合cauchy-riemann方程組，從而是全純函數(shù);逆命題則顯然成立。接下來，可以把問題歸結(jié)為尋找這樣的好坐標(biāo)系，或求解一些一階線性微分方程組?！?br/>　　……
　　“高維情形:newlander-nirenberg定理。近復(fù)結(jié)構(gòu)m是(1，1)型張量場(chǎng)，故可以作用到余切叢上.在每一點(diǎn)p∈m處，復(fù)化切空間tpmc都可分解為相應(yīng)于特征值±i的兩個(gè)子空間的直和。根據(jù)連續(xù)性，便可得到復(fù)化切叢的直和分解……”
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　　“引理：設(shè)m是緊riemann流形?？紤]其上的微分方程δu=f(x，u)，f：m*r→r是光滑函數(shù)。如果存在u-，u+∈c^2(m)使得u-≤u+，δu-+f(x，u-)≥0，δu++f(x，u+)≤0，則存在解x∈c^∞(m)滿足u-≤u≤u+……”
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　　時(shí)間一分一秒過去，一行行猶如天書一般的符號(hào)飛快在龐學(xué)林筆下流出，填滿一張又一張稿紙。
　　龐學(xué)林徜徉在數(shù)學(xué)的海洋里，一步步完善龐氏幾何的理論框架，充實(shí)其血肉上。
　　越是研究，龐學(xué)林越感覺到，自己所開創(chuàng)的龐氏幾何理論，背后隱含著的廣闊空間。
　　這就好比當(dāng)年開創(chuàng)了群論的伽羅瓦，將代數(shù)研究提升到了一個(gè)全新的領(lǐng)域。
　　龐學(xué)林甚至隱隱意識(shí)到，當(dāng)年格羅滕迪克老爺子為什么要研究遠(yuǎn)阿貝爾幾何了。
　　龐氏幾何是在遠(yuǎn)阿貝爾幾何的基礎(chǔ)上開創(chuàng)出來的，在龐氏幾何的基礎(chǔ)上，龐學(xué)林隱隱感覺到，代數(shù)與幾何正在相互融合。
　　從笛卡爾時(shí)代，通過坐標(biāo)軸將代數(shù)與幾何有機(jī)結(jié)合起來，形成了解析幾何學(xué)，再到黎曼開創(chuàng)代數(shù)幾何學(xué)說，代數(shù)與幾何這兩門數(shù)學(xué)領(lǐng)域的重要支流，既有著極大的區(qū)別，彼此間又有著深刻的內(nèi)在聯(lián)系。
　　然而，在各大學(xué)科枝丫分叉越來越細(xì)的時(shí)代，想要將代數(shù)與幾何這兩大命題統(tǒng)一起來，幾乎是一個(gè)不可能的任務(wù)。
　　但龐學(xué)林提出的這個(gè)龐氏幾何理論，卻讓代數(shù)與幾何隱隱有了匯流的趨勢(shì)，兩者之間真正有了溝通的橋梁。
　　或許當(dāng)年格羅滕迪克老爺子也有類似的想法，只可惜老爺子走得早，只提出了遠(yuǎn)阿貝爾幾何的一個(gè)理論框架。
　　如今，龐學(xué)林在遠(yuǎn)阿貝爾幾何的基礎(chǔ)上提出的龐氏幾何，正在完成格羅滕迪克老爺子未盡的心愿。
　　這套理論不僅能解決數(shù)論領(lǐng)域的相關(guān)難題，甚至在非線性偏微分方程組領(lǐng)域，也有著重要的作用。